拉格朗日中值定理证明 _日中-「四川龙网」

为什么不能用拉格朗日中值定理证明洛必达法则？（罗比达法则大家都知道，这里就不累述了！）我们先看一下罗比达法则标准证明的简略版：下面以 x → a? （-∞ ≤ a < +∞）为例（x→ a?类似）。当 f/g 是 0/0 型时，在区间 [a, x] 上，根据柯西中值定理，有：其中，c ∈ (a, x) 。注意：有罗比达法则的条件 g'(x) ≠ 0 。0/0 型说明，f(a) = g(a) = 0，于是：因为，c ∈ (a, x)，所以当 x → a? 时，有 c → a?，故：将等式，最左边极限符号 c 替换为 x，最终得到：得证！当f/g 是 ∞/∞ 型时，令：下面以-∞ < K < +∞ 为例 ( K = ±∞ 类似) 。根据极限定义，对于任意 ε > 0 都存在 δ > 0 使得，所有 a < x < a + δ，都有：令，b = a + δ，再区间 [x, b] 上根据柯西中值定理，有：其中，c ∈ (x, b)，说明 a < c < a + δ，c 满足上面不等式，于是：现在让 b 固定让x → a?，由 ∞/∞ 型，知道 g(a) = +∞，所以 g(x)→ +∞ > 0，于是从上面不等式可以得到：由于，x → a?时，g(x)→ +∞，而 b 固定 b ≠ a，所以 f(b)为非无穷常值，于是 f(b)/g(x)→ 0，这样最终得到：由，ε的任意性，知：即，得证！注意：以上证明以说明思路为主，细节上存在漏洞！以上标准证明中 (1) 和 (2) 处会用的柯西中值定理，如果用拉格朗日定理替换，以 (1) 为例，在区间 [a, x] 上有：两个等式相比得到：这看着与 (1) 很像，但是仔细观察发现： (1) 处等式左边只有一个 c，这有两个 c? c? 。我们并不能保证 c? = c? = c，所以这里和 (1) 处等式不同。进而，因为推导的结果不同，所以，不能用拉格朗日定理替换柯西中值定理。结论：在罗比达法则的标准证明中，我们无法直接使用拉格朗日定理，因为不能从拉格朗日定理直接得到标准证明所需要的柯西中值定理形式。当然，证明罗比达法则有多种方法，有些情况不一定要用到柯西中值定理，比如：0/0 型，a ≠ ±∞时，由 f(a) = g(a) = 0 直接到：所以就更不需要拉格朗日中值定理了！至于，是不是有直接使用拉格朗日中值定理证明罗比达法则的非标准方法，小石头才疏学浅，目前不知道！rr【拉格朗日中值定理证明】大家好，我是拉格朗，请问中值在哪里

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