20世纪的数学 20世纪的数学观( 五 )

逻辑与计算
历史的讽刺之一是，就在布尔巴基及其他纯数学家追求以观念取代计算这个目标的同时，工程师和应用数学家们发展出了一个工具，它重新点燃了人们对数值计算和代数技术的兴趣，并强烈影响了很多数学系的构成，这就是计算机 。在20世纪的上半叶，计算机的历史更多地牵涉到统计学家、物理学家和电子工程师，而不是数学家。台式计算机和穿孔卡控制系统对商业、银行和社会科学是不可或缺的。计算尺成了工程师的象征；各种类型的积分仪被物理学家、测地学家和统计学家所使用。纸和笔依然是数学家们的主要工具。尽管大多数重要努力是物理学家和工程师推动的，但很多年轻的数学家在自动数字电子计算机的发展中扮演了积极的角色。其中大多数数学家在他们涉足计算机的时候都处在他们职业生涯的早期阶段，很多人在1930年代获得了博士学位。我们妨看看三个对新兴计算机领域做出贡献的数学家。
约翰·冯·诺依曼在21岁那年发表的一篇论文中，给出了序数的新定义；两年后，他为集合论提出了一套公理系统，提供了在策梅洛和弗兰克尔的体系之外的可选方案。1926年，他发表了一篇关于博弈论的开拓性论文。冯·诺依曼是20世纪最有创造力、最多才多艺的数学家之一，他是数理经济学新方法的开拓者。计量经济学长期以来利用数学分析，但正是通过冯·诺依曼和奥斯卡·摩根斯特恩在1944年出版的《博弈论与经济行为》，所谓的有穷数学开始在社会科学中扮演一个越来越重要的角色。
麻省理工学院的诺伯特·维纳在1948年出版了他的《控制论》一书，这本书确立了一门新的学科，致力于研究动物和机器中的控制与沟通。冯·诺依曼和维纳都深深地卷入了量子论，前者在1955年被任命为原子能委员会的成员。然而，得出下面这个结论将是错的：像这样一些人只不过是应用数学家而已。他们对纯数学至少做出了同样广泛的贡献———对集合论、群论、运算微积分、概率论以及数理逻辑与基础。事实上，正是冯·诺依曼，在1929年前后赋予了希尔伯特空间以它现在的名称、它最早的公理化以及它目前的高度抽象的形式。在20世纪初，现代线性空间理论的起源上，尤其是在巴拿赫空间的发展上，维纳都很重要。
艾伦·图灵是1934年毕业于剑桥大学的国王学院。次年，他解决了数理逻辑中一个悬而未决的问题，从而创造了历史。包含这一成果的论文发表于1937年，题为《论可计算数及其在判定问题上的应用》。1936年，图灵去了美国，在普林斯顿从事研究。他在那里与逻辑学家丘奇一起工作，提出了自己对判定问题的证明，并结识了约翰·冯·诺依曼。后来，他深深卷入了密码分析活动，电子计算机的设计，以及编程系统的设计。
最后
在当代数学更值得注意方面，最明显的特征包括：几何学的复兴，以及在很多著名问题的解决上所取得的进步，从庞加莱猜想，到有限群的分类。
到20世纪快要结束的时候，人们的态度既没有表现出18世纪末一些思想家的那种悲观，这些人曾经声称，大多数重要问题已经得到解决；也没有表现出希尔伯特在19世纪末的那种乐观，当年他曾宣布，一切问题都能够得到解决。有时候，看上去最重要的问题好像是，数学问题是不是应该解决。因为在很多领域，数学的教学和研究都面临进退维谷的境地。
未来的伟大数学家，就像过去的一样，将会逃离人们惯走到老路。正是通过意料之外的和解，他将在给它们带来又一次转变的过程中，解决我们留给他的重大问题。在未来，正像在过去一样，伟大的观念必定是令人满意的观念。

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