20世纪的数学 20世纪的数学观 _20世纪-「四川龙网」

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20世纪数学的典型特征，在很大程度上就是到19世纪末已经变得越来越明显的那些趋势。这些趋势包括强调共同的基础结构，这样的结构凸显了此前一直被认为毫不相干的不同数学领域当中一致性。它们还包括世界不同地区的数学家当中日益密切的相互作用。
对于某些数学流派的风行一时和优势地位，20世纪容易受其影响的程度丝毫不亚于数学史上此前的任何时期。这种影响可以归因于某个数学领域的研究现状，同时也要归因于个别贡献者的力量；但还有一些外部因素，比如像物理学、统计学、计算机科学这些相关领域的发展，甚或还有经济和社会压力，这些通常起到了支持应用的作用。
积分与测度
到19世纪末，对严谨性的强调导致很多数学家纷纷提出“病态”函数的实例，这些函数由于某个异乎寻常的属性而违背了某个此前在一般情况下有效的定理。某些著名的分析学家当中有一种这样的焦虑：对这些特例的专注，将会使年轻的数学家分心旁骛，没有心思去寻求当时重大的未决问题的答案。庞加莱说：
然而，通过对异常特例的研究以及对长辈的质疑，两个年轻的法国数学家实现了一些概念的定义，而这些概念，对于20世纪数学某些最一般化的理论的发展至关重要。亨利·勒贝格受过通常的数学训练，但他的学位论文却是最不寻常的，几乎是重建了积分领域。他的作品是如此严重背离了人们普遍接受的观点，以至于最初，像康托尔一样，勒贝格遭到了痛击，既有来自外部的批评，也有内心的自我怀疑；但他的观点的价值越来越被人们所认可，1910年，他被任命为巴黎大学的教授。然而，他并没有创立一个“学派”，也没有专注于他所开拓的那个领域。勒贝格担心：
后来的发展似乎表明，他对数学中一般化的有害影响的担心并非毫无道理。
在勒贝格之前一直主宰积分研究的黎曼积分 。但到19世纪末，三角级数的研究和康托尔的集合论使得数学家们更敏锐地意识到，函数中的基本观念在更新的意义上应该是逐点对应或 “映射”，而不是变化的平滑性。康托尔甚至跟可测集的概念作斗争，根据他的定义，两个集合的并集的测度可以小于这两个集合的测度之和。康托尔定义中的缺陷被勒贝格在测度论研究上的直接前辈埃米尔 · 博雷尔给消除了。
泛函分析与一般拓补学
新的积分理论与20世纪另一个明显特征紧密相联：点集拓扑学的迅速发展。如果没有对集合论的总体考量，函数理论将不再有用武之地。而这个集合未必是数的集合，而是任意性质元素的集合，比如曲线或点，在这样的任意集合的基础上，构建了一套 “函数演算”：
这里关注的不是集合E的特例，而是那些跟集合元素的性质毫无关系的集合论结果。在这个非常笼统的演算中, 极限的概念比我们先前定义的极限要宽泛得多，前者包括后者作为特例。
20世纪的数学，最引人注目的方面，大概莫过于程度越来越高的一般化。在某种意义上，一个积分方程可以被视为一个有n个未知数的n个方程所组成的系统扩展为一个有无穷多个未知数的无穷多个方程所组成的系统。
当希尔伯特在1904至1910年间研究积分函数的时候，他并没有明确提到无限维空间，但他发展出了一个有无穷多个变量的函数的连续性的概念。希尔伯特究竟在何种程度上正式构建了后来以他的名字命名的那个 “希尔伯特空间”，这是一个悬而未决的问题，但它们对数学界的影响是巨大的。他在积分方程上的工作很快就被弗里德里希·里斯和恩斯特·费希尔扩展到了更一般的函数和抽象空间。

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