函数概念的发展函数概念的发展历程

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数学的发展过程中，很多重要的概念，从它最初的原始状态，随着时间的推移，由种种原因而被一次一次地扩张、推广，成为更广泛、深刻、精确的概念。比如函数概念的发展就经历了7个发展阶段。
最初，“函数”与“幂”同义，这种把幂视为函数，可看作“函数概念的分析起源” 。然而，莱布尼茨在1692年的论文中，并未把“函数”按幂的意义来使用，而是采用完全不同的意义。莱布尼茨定义的函数：曲线上点的横坐标，纵坐标，切线的长度，垂线的长度等，凡与曲线的点有关的量，称为函数。而莱布尼茨的这种函数定义，可看作“函数概念的几何起源” 。
第一次扩张莱布尼茨之后，伯努利兄弟在早期也采用莱布尼茨的函数定义。然而，在1718年，约翰·伯努利改用函数定义：由一个变量x与常数构成的任意表达式，称为x的函数。
约翰·伯努利对函数概念的改造，可看作函数的分析概念的第一次扩张。变量和常数可按算术运算、三角运算、指数和对数运算表达为任意表达式，欧拉把这种表达式称为“解析函数”，并进一步区分为“代数函数”和“超越函数” 。
第二次扩张在“解析函数”的基础上，对连续函数积分的讨论，使得函数的范畴扩大到几何学上的函数，并认为几何学中的曲线可分为3类，并依据曲线是否能用一个表达式表示来区分“真函数”和“伪函数”，而且对函数的认识含混不清。幸运的是，傅里叶凭借论文《热的分析理论》，纠正了人们对函数的认识，使人们放弃“真函数”和“伪函数”的概念。
第三次扩张【函数概念的发展函数概念的发展历程】傅里叶对函数概念的纠正，促使柯西寻求新的函数定义，于是有了柯西的定义：若对x的每个值，都有完全确定的y值与之对应，则称y是x的函数。
按柯西的函数定义，函数不再限制于用一个表达式，这自然比“真函数”的概念更广泛。另外，柯西给出了连续函数的精确定义，至今仍被采用。但柯西认为，x和y的函数关系，是可以用若干个解析式表示的。
第四次扩张关于柯西函数定义中，x和y的关系能否用解析式表示出来，似乎没有多大的意义。因此，黎曼、狄利克雷进一步取消这种限制，给出了更广泛的函数定义：若对x的每个值，有完全确定的y值与之对应，不管建立起这种对应的方式如何，都称y是x的函数。
狄利克雷描述了一个特殊的函数f(x)：f(x)在x为有理数时总为1，在x为无理数时总为0 。很明显，该函数对一切x都不连续，很难用一个或若干个式子来表；不论能否通过一个表达式描述，依照黎曼的定义，f(x)是一个不折不扣的函数。
对于上面的函数，狄利克雷最终还是巧妙地给出了表达式：
容易验证，该式f(x)在x为有理数时为1，在x为无理数时为0 。
第五次扩张到黎曼、狄利克雷为止，函数f(x)的自变量x，其取值总是连续的。而第五次概念扩张，取消了对自变量变域的限制，使其与集合论相结合，进而扩大了近代函数的研究领域，同时使得自变量或函数的概念更广泛。
第六次扩张第五次的扩张，虽然取消了变量变域的限制，引入了集合，但自变量及函数的范围仍然仅限于数，维布伦和伦内首先突破了数的范围，在他们的著作中首先使用了变量、常量的定义：

变量的定义：所谓变量，就是代表事物的集合中任一事物的记号。
区域的定义：变量x所代表的“事物的集合”，称为该变量的区域，或变域。
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