对二次曲线系方程用法的一点点补充

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先说明一下，二次曲线系在高考大题中极大几率是不给分的，该知识点在高中阶段只能作为参考扩展资料使用，解析几何在高考中的难度本来就逐年递减，暴力运算加适当的技巧即可，切不可本末倒置，之前有过两期关于曲线系的使用方法，链接为：
【对二次曲线系方程用法的一点点补充】

圆锥曲线中用二次曲线系解题示范

之前以为圆系方程虽不是书上的内容，但讲课时多多少少会引入一些，后来发现事实并非如此，很多学生并不知道圆系方程的存在，更不用提二次曲线系方程的使用方法，甚至新修订的数学教材中对圆系方程压根没提，加之二次曲线系在高考中的限制性和本身的局限性，所以这块知识点只能作为学有余地时的课外参考。
曲线系可分为直线系，圆系，二次曲线系，过多的细节不再叙述，这里需要提一下直线系方程，在上次推送中的第五题，为什么要把两条渐近线写成二次的形式，这样把一次升为二次，类似的二次曲线系也可以“降次”为两条直线的形式（当然专业术语不是这个），这是学习二次曲线系的基础，例如两条直线ax+by+c=0和dx+ey+f=0，若升次可写成(ax+by+c)(dx+ey+f)=0,这个二次方程依旧代表两条特定的直线。
如果不考虑次数，将两个函数统一写成F(x,y),G(x,y)，若两函数有交点，则过公共点的所曲线的方程可统一写成μF(x,y)+λG(x,y)=0，两参数不同为0，用两个参数可以表示出所有的过交点的曲线，包括F(x,y),G(x,y)自身，出于计算简洁考虑，也可以用一个参数表示，即F(x,y)+λG(x,y)=0，但这样就无法表示出G(x,y)本身的曲线，因此若用曲线系解题时容易错的一点就是忽略其中一条曲线自身也满足要求，特别是在直线与圆相交时的圆系方程中。
直线系和圆系方程不再给出，重点补充一些二次曲线系方程中的内容，圆锥曲线无非就是曲线，直线，线段，点这些基本几何量的杂烩，二次曲线系在圆锥曲线中的使用常与曲线与两条直线相关，设二次曲线为F(x,y),两条直线分别为L1(x,y),L2(x,y)，则过两条直线与曲线所有交点的曲线系方程为F(x,y)+λL1·L2=0，为了计算得简便有时参数也可加在二次曲线上，二次曲线系反映的是过所有交点的曲线，点和点的连线构成直线，因此可用二次曲线系去处理点本身的问题和直线的问题，刚才提到了二次曲线系可"降次"即退化为直线方程，有时在处理直线过定点或者有关点的最值等问题时使用二次曲线系可降低题目本身的难度。
关于如何用二次曲线系证明四点共线，可自行查阅开始的链接，先从之前推送的一个题目开始：
这里有两点需要注意，题目中直线与曲线交于四点A1,A2,P,Q，过四点的双直线组有A1P,A2Q；A1Q,A2P和A1A2,PQ，在本题中二次曲线系方程中选用了A1P,A2Q，另一组A1A2,PQ中A1A2的方程已知，可利用A1A2,PQ双直线方程确定出PQ的方程，进而确定出S点的横坐标，第二，PQ的方程是利用待定系数确定的，这并非必要，有时候可根据直线的形式直接从二次曲线系中提取所需的部分，针对这两点，分别给出以下两题：
本题需确定出MN过的定点，加之AB所在方程已知，因此可选用PA,PB与椭圆组成二次曲线系方程，这里没有必要非得把MN所在直线设出来，因为AB方程为y=0，MN为常规方程，则过AB，MN的双直线方程中的项必定有y2,xy,y三项，因此从上图红框中抽取包含着三项的式子即可，但若AB所在的直线变成y=1,此时抽取所需项之后成双直线乘积的形式可能并不简单，如下题：
本题有两点需要留意，和上题不同，直线AM，AN与椭圆共三个交点，切线是割线的极限形式，因此可把过A点的切线当做割线，将一个点看作两个点，加之A点处切线方程已知，因此可选择AM，AN两条直线与椭圆组成二次曲线系，再令二次曲线系等价于A点处的切线和MN组成的双直线方程，确定出MN的方程即可，但此时A点切线为y=1，双直线方程中所含的项为xy,y2，x,y以及常数项，从这些项组成的方程中抽取MN的方程并不太容易，因为双直线方程中不含x2，可据此先求出二次曲线系方程中的参数。

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