如何求矩阵的逆矩阵求矩阵的逆的三种方法

文章插图

需要的前置数学知识：一元一次，一元二次方程的解法，基本的初中代数。
会用到的记号
读者对象：初中高年级，高中生，大学低年级学生以及其它数学爱好者。讲解了矩阵，增广矩阵，矩阵乘法，转置，行列向量，求矩阵的逆等基本矩阵操作。以线性方程导入。力求推理清楚，核心要点明确。后续下一篇会有矩阵与几何变换。
一次方程组的矩阵形式一元一次方程
解写成：
二元一次方程组
的解不能写得像一元方程这么简单，我们通过例子看一下。
叫2X2的矩阵
叫列向量，常数项也可以用列向量表示为
有了矩阵与列向量的概念，就可以将二元方程组与一元方程统一写成一样的形式。二元方程组写成
形式上与一元方程一样。为了让解的形式上也一样，就要有
如果要让AX能与方程组形式对应起来就必须使得A的第一行的每个元素与X的每个元素对位相乘加起来，做为第一个方程的左边，用A的第二行的每个元素与X的每个元素对位乘再加起来做为第二个方程的左边，从代数上看会形成一个列向量如下：
这就是矩阵与列向量相乘的基本法则，简单记忆为行与列对位相乘后再加起来。
例1. 计算
我们发现，
乘以任意的列向量，结果不变，我们就叫这个特殊的主对角线全为1 ，其它元素为0的矩阵为幺矩阵，类比于数“1” 。记为I
模仿
就有
那么解方程的过程可以形式化写成
这个A-1叫做矩阵A的逆矩阵。
如果我们把X ， C扩展成三元列向量,A扩展成3×3矩阵，上面的过程依然可以用，而且矩阵与列向量的乘法规则不变。为了使得我们介绍的这套方案具有可操作性，需要求矩阵的逆矩阵，需要求矩阵与列向量的乘法，需要矩阵与矩阵的乘法。接下来讲这些概念与方法。
列向量与行向量是一个列向量，我们也可以定义行向量
矩阵转置WW可以看成w行列对位对调形成的，也叫转置。对于一个矩阵A我们也可以定义其转置，也是对位的行与列对调。
向量的数积我们可以定义行向量与列向量的数积，也叫内积如下
矩阵的乘法A是个矩阵， A-1当然也就是个矩阵。一般地两个2×2的矩阵A,B的乘积可以这样加以扩充
把B看成一个两个列向量横向拼接而成的数阵，把A看成一个两个行向量纵向拼接而成的数阵。
AB乘积也是个2×2的矩阵，那么， AB第1行第1列的元素就是A的第一行向量与B的第一列向量的数积，第1行第2列的元素就是A的第一行向量与B的第二列向量的乘积，第二行第一个元素是A的第2行向量与B的第一列向量的数乘，第二行第2个元素的是A第2行向量与B的第2列向量的数积。我们也可以按上述方式定义nxn的两个矩阵A,B的乘积，乘积的第i行，第j列的元素为
矩阵乘法符合结合律
但
所以
矩阵的乘法已经不符合交换律了。例如
矩阵转置的一些性质按转置的定义就有
下面证明
最后我们讲矩阵求逆的方法，这是最重要的，也是本文的难点。

以上关于本文的内容，仅作参考！温馨提示：如遇健康、疾病相关的问题，请您及时就医或请专业人士给予相关指导!

「四川龙网」www.sichuanlong.com小编还为您精选了以下内容，希望对您有所帮助：

如何求矩阵的逆矩阵 求矩阵的逆的三种方法

如何求矩阵的逆矩阵求矩阵的逆的三种方法