等价无穷小与泰勒展开式等价无穷小和泰勒展开式

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上一期我们推出了一个极限符号
用来表示：
我一直不想推新符号，因为，每一个符号，都是（折磨学生的工具）推动科学进步的阶梯。这里解释一下，不得不推出这个符号，因为这个符号实在很清晰很简洁。（可以少打好多字）
对于两个无穷小α,β，如果
就称这两个无穷小等价，记作α~β 。
两个等价的无穷小在极限运算时可以替换，这真是强大的功能。其理论基础是下面这个定理：
证明也非常容易，一行就写完了。
好吧，我们不要纠结与证明了，直接举例子比较好玩。
直接计算几乎没办法，但我们只要知道sinx~x，关注数学佬公众号的朋友或许还记得，我们在测量恒星距离的时候，就用x代替sinx进行计算。
那么，
是不是很神奇？
常用的无穷小等价公式有这些：
【等价无穷小与泰勒展开式等价无穷小和泰勒展开式】

公式证明不复杂（当年差点没整死我~）我也不想在这里掉书袋逐一证明。我只是好奇，数学家怎么能想出这么些等价来，难道他们都不是人！
直到……我看见了这个公式：泰勒展开式 。
顿时恍然大悟，WK！无穷小等价不就是泰勒展开式的前两项嘛。
瞧瞧。

然后慢慢证明，证明不难，猜猜才难。
再如
再看一个。

再举一个被很多老师用来作反例的例子。

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