是如何只用尺规作正五边形怎么尺规作正五边形

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今天我向大家介绍一下《几何原本》比较特别的二倍角定理以及如何只用尺规作正五边形。
二倍角定理是《几何原本》第4卷“与圆有关的直线图形的作法”中的第10个命题，在二倍角定量后面的4个命题都是有关正五边形的命题证明，都需要用到二倍角定理。
下面是二倍角定量的证明过程:
命题10:作一个等腰三角形，使它的每个底角是顶角的二倍。证明:
1、任取一条线段AB，在AB上取一点C，使以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以CA为边的正方形面积。（第2卷命题11）具体详见我的文章。
2、以A为圆心、AB为半径作圆BDE 。
3、作圆BDE的拟合线BD，使BD=AC 。（第4卷命题1）
4、连接AD和DC，作三角形ACD的外接圆ACD 。（第4卷命题5）
5、因为以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以CA为边的正方形面积，AC=BD，所以以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以BD为边的正方形面积，于是BD与圆ACD相切。（第3卷命题37）
6、因为BD与圆相切，DC是过切点D的圆的拟合线，所以角BDC等于相对弓形上的角DAC 。（第3卷命题32）
7、因为角BDC=角DAC，两边同时加上角CDA，所以角BDA=角CDA+角DAC 。
8、又因为外角BCD=角CDA+角DAC（第1卷命题32），所以角BDA=角BCD 。
9、又因为AB=AD，所以角BDA=角CBD 。（第1卷命题5）
10、所以角BCD=角CBD，于是DB=DC 。（第1卷命题6）
11、又因为BD=CA，所以DC=CA，所以角CDA=角CAD（第1卷命题5）
12、所以角CDA与角CAD的和是角DAC的二倍，又角BCD=角CDA+角CAD，于是角BCD是角DAC的二倍。
13、又因为角BCD=角BDA=角DBA，所以角BDA和角DBA都是角DAB的二倍。
14、所以等腰三角形ABD的底边BD上的每个角都是顶角的二倍。
证明完毕。
以下是作图过程：
步骤1：任取一条线段AB，延长BA至a 。
步骤2：以A为圆心，AB为半径作圆与Ba相交于b，此时bA=AB 。
步骤3：去除多余的辅助线，此时bA=AB 。
步骤4：以b为圆心，bB为半径作圆；以B为圆心，Bb为半径作圆。两圆相交于c、d，连接cd与bB相交于A点。
步骤5：去除多余的辅助线。
步骤6：以A为圆心，AB为半径作圆，交Ad于e 。分别以e、B为圆心，eA、BA为半径作圆，两圆交于f，连接ef、fB 。
步骤7：去除多余的辅助线，此时AefB是正方形。
步骤8：以A为圆心，Ae为半径作圆；以e为圆心，eA为半径作圆，连接两圆交点所形成的直线与Ae相交于g点。
步骤9：去除多余的辅助线，此时AefB是正方形，g是Ae中点。
步骤10：延长eA至h，以g为圆心，gB为半径作圆，圆与eh相交于i 。
步骤11：去除多余辅助线。
步骤12：以A为圆心，Ai为半径作圆，圆与AB相交于C 。
步骤13：以A为圆心，AB为半径作圆；以B为圆心，AC长度为半径作圆，两圆相交于D 。
步骤14：连接AD、CD、BD 。
步骤15：去除多余辅助线，此时在三角形ABD中，角ABD=角ADB=2角A 。此时我们已经完成了作图任务。
步骤16：以D为圆心，DA为半径作圆，两圆相交于j、k，连接jk 。
步骤17：以A半径，AC为圆心作圆；以C为圆心，CA为半径作圆，两圆相交于im 。连接im，im与jk相交于n 。
步骤18：去除多余辅助线。
步骤19：以n为圆心，nC为半径作圆ACD 。
步骤20：去除多余的辅助线，，此时在三角形ABD中，角ABD=角ADB=2角A，BD与圆ACD相切于D点。
命题11:作给定圆的内接五边形，该五边形等边且等角。已知ABCDE是给定圆。
目标:作圆ABCDE的内接等边且等角的五边形。

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